Question

18．已知函数y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$（0＜a＜1），求函数的单调区间及值域．

Answer 1

分析 设t=x²-4x+1，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=x²-4x+1，则t=（x-2）²-3，
对称轴为x=2，
∵0＜a＜1，
∴y=a^t为减函数，
当x≥2时，函数t=x²-4x+1为增函数，
∵y=a^t为减函数，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$为减函数，即单调递减区间为[2，+∞），
当x≤2时，函数t=x²-4x+1为减函数，
∵y=a^t为减函数，∴y=a${\;}^{{x}^{2}-4x+1}$为增函数，即单调递增区间为（-∞，2]．
∵t=（x-2）²-3≥-3，
∴y=a^t≤a^-3，
∵y=a^t＞0，
∴0＜y≤a^-3，
即函数的值域为（0，a^-3]．

点评 本题主要考查函数单调性的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．