已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.
(1)求抛物线方程;
(2)过焦点F作倾斜角为45°的直线,交抛物线于A,B两点,求 A B的中点C到抛物线准线的距离.
【答案】
分析:(1)抛物线
,由此能求出抛物线方程.
(2)由点F的坐标是(1,0),知AB的方程为y=x-1,由
得x
2-6x+1=0.由此能求出AB的中点C到抛物线准线的距离.
解答:解:(1)抛物线
,
∴p=2.
∴抛物线方程为y
2=4x.…(4分)
(2)∵点F的坐标是(1,0),
所以AB的方程为y=x-1,…(6分)
由
消y得x
2-6x+1=0…(8分)
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
则x
1+x
2=6,
所以C点的横坐标为x
C=3…(10分)
所以AB的中点C到抛物线准线的距离为x
C+1=4.…(12分)
点评:本题主要考查抛物线标准方程,简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,抛物线的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.