Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点， 面积的最小值为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）试问是否存在定点，过点的直线与抛物线交于两点，当三点不共线时，使得以为直径的圆必过点．若存在，求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，通过利用函数的思想研究面积的最小值得到关于P方程，解方程即可. (2)第（2）问，根据以为直径的圆必过点得到0，

化简得到m和k的关系，看是否满足题意.

试题解析：

（1）设直线的方程为，设，

联立

面积的最小即最小，

所以当m=0时， 最小为2p,△MON面积的最小，

所以

（2）假设存在这样的定点，当不垂直于轴时，可设直线为，显然.

联立可得，由于p=2，所以点 .

设，则， ，

化简可得，即

当时， ，恒过定点，即为点A，不合题意；

当时， ，恒过定点，此时存在定点满足条件.

容易验证当直线过点且垂直于轴时， ，综上，存在唯一定点满足条件.