Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．
（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=

2

，S_△ABC=

1

2

|AB|•h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m²+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

3m

2

，x₁x₂=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．

点评：本题是属于对直线与圆锥曲线的位置关系的考查．注意到解析几何的综合题在高考中的“综合的程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养．