Question

10．已知命题p：函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax为定义域上的增函数，命题q：函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，$g（x）={（\frac{1}{2}）^x}$-a满足对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]有f（x₁）≥g（x₂）成立，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． $[-\frac{5}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-\frac{5}{2}）∪（2，+∞）$
• D． $（-∞，-\frac{5}{2}]∪[2，+∞）$

Answer 1

分析 命题p真：函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax的导数f′（x）=$\frac{1}{x}+x-a$≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≤（$\frac{1}{x}+x$）_min；
命题q真：对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]使f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_min，于是问题转化为求函数f（x），g（x）的最小值问题．再根据p、q的真假，求出a即可．

解答 解：命题p真：函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax的导数f′（x）=$\frac{1}{x}+x-a$≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤（$\frac{1}{x}+x$）_min，⇒a≤2；
命题q真：当x∈[1，2]时，函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$=x²+$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}$≥3$\root{3}{{x}^{2}•\frac{1}{x}•\frac{1}{x}}=3$，所以f（x）_min=3；
g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-a在[-1，1]上单调递减，所以g（x）min=g（1），
对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，1]使f（x₁）≥g（x₂），
等价于f（x）_min≥g（x）_min，即3≥$\frac{1}{2}-a$，解得a≥-$\frac{5}{2}$
若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题⇒p、q为一真一假，
当p真，q假时，解得a＜-$\frac{5}{2}$，当p假，q真时，解得a＞2．
综上：实数a的取值范围是：a＜-$\frac{5}{2}$或a＞2．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，及函数恒成立，转化思想是关键，属于中档题．