Question

20．若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足条件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，
则下列函数：
①f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）；
②f（x）=lnx（0＜x＜3）；
③f（x）=2sinx；       
④f（x）=$\sqrt{2{x^2}-8}$．
其中为“柯西函数”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由柯西不等式得：对任意实数x₁，y₁，x₂，y₂，|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x₁=kx₂，y₁=ky₂取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足条件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$共线，即存在点A、B与点O共线，逐一判定即可．

解答 解：由柯西不等式得：对任意实数x₁，y₁，x₂，y₂，|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x₁=kx₂，y₁=ky₂取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足条件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$共线，即存在点A、B与点O共线；
对于①，方程kx=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）不可能有两解，故不存在；
对于②，f（x）=lnx（0＜x＜3）存在；
对于③，f（x）=2sinx存在；       
对于④，f（x）=$\sqrt{2{x^2}-8}$存在．
故选：C．

点评 本题考查了新定义，关键是弄清新定义的含义，属于中档题．