Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=

5

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x²+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用参变量分离法将恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数求出最值，列出不等关系，即可求得a的取值范围，从而得到实数a的最小值；
（2）利用参变量分离法转化为b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有两个不等的实根，令h（x）=b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，再将方程有两个不等的实数根转化为函数y=b与y=h（x）在[1，4]上有两个不同的交点，再结合图象即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵对任意的x∈[1，+∞），f（x）=lnx-ax+1≤0恒成立，
∴a≥

lnx+1

x

在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

lnx+1

x

，x∈[1，+∞），
则g′（x）=

1 x ×x-lnx-1

x2

=0，解得x=1，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，即g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）在[1，+∞）上的最大值为g（1）=1，
∴a≥1，即实数a的最小值为1；
（2）∵a=

5

2

，f（x）=-

1

2

x²+b，
∴b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有两个不等的实根，
令h（x）=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]，
∴h′（x）=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

=

(x-2)(2x-1)

2x

，
令h′（x）=0，则x=

1

2

（舍）或x=2，
∴h（x）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
∴h（x）在x=2处取得极小值h（2）=ln2-2，又h（1）=-1，h（4）=ln4-1＞-1=h（1），
要使b=

1

2

x²+lnx-

5

2

x+1，x∈[1，4]有两个不等的实根，
则y=b与y=h（x）的图象在x∈[1，4]有两个不同的交点，
结合图象可知，ln2-2＜b≤-1，
故实数b的取值范围是ln2-2＜b≤-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的单调性与极值，从而得到函数的简图，同时考查了函数的零点与方程的根的关系，将方程有解问题转化为函数的图象有交点进行解决．属于中档题．