Question

14．已知动圆P过点A（-3，0），且与圆B：（x-3）²+y²=64相内切，则动圆P的圆心的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 根据两圆内切的性质，算出动圆圆心到B（3，0）、A（-3，0）的距离之和等于常数8，由此可得轨迹为以A、B为焦点的椭圆，利用椭圆的基本概念加以计算即可得到所求轨迹方程．

解答 解：圆B：（x-3）²+y²=64圆心为B（3，0），半径为r=8，
设动圆的圆心为P，∵圆C过点A（-3，0），圆C与圆B相内切
∴|PB|=8-|PA|，
得|PB|+|PA|=8（定值）
因此，动点C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆
2a=8，c=3，可得b=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$，即为动圆圆心的轨迹方程．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

点评 本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程．着重考查了圆与圆的位置关系、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．