Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为3．

Answer 1

分析 根据题意求出数量积$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，计算模长|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，再根据投影的定义计算$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos60°=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=2²+2×2+2²=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$；
设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，则
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2²+2=6，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|cosθ=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义、夹角公式以及投影的概念与应用问题，是基础题．