Question

【题目】如图，已知圆经过椭圆的左右焦点，与椭圆在第一象限的交点为，且， ， 三点共线.

（1）求椭圆的方程；

（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点，当的面积取取最大值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 ，再由条件得为圆的直径，且，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义和依次求出的值，代入椭圆方程即可；

（2）由（1）求出的坐标，根据向量共线的条件求出直线的斜率，设直线的方程和的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去，利用韦达定理和弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式求出，化简后求最值即可.

试题解析：(1)∵， ， 三点共线，∴为圆的直径，且，

∴.由，得，∴，∵， ∴， ∴， .

∵，∴，∴椭圆的方程为. (2)由（1）知，点的坐标为，∴直线的斜率为，故设直线的方程为，将方程代入消去得： ， 设 ∴， ， ，∴， 又：

=，∵点到直线的距离， ∴ ，

当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为.