Question

【题目】已知椭圆E的中心在原点，离心率为 ，右焦点到直线x+y+ =0的距离为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）椭圆下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的右焦点为（c，0），依题意有 =2

又c＞0，得c=

又e= = = ，∴a=

∴b= =1

∴椭圆E的方程为 =1

（2）解：椭圆下顶点为A（0，﹣1），

设弦MN的中点为P（xp，yp），xM、xN分别为点M、N的横坐标，

由直线与椭圆方程消去y，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，

由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以

∴△＞0，即m2＜3k2+1 ①

xp=﹣ ，从而yp=kxp+m= ，kAP= =﹣

又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，则﹣ =﹣ ，即2m=3k2+1 ②，

将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2= ＞0，解得m＞ ，

故所求的m取值范围是（ ，2）

【解析】（1）利用右焦点到直线x+y+ =0的距离为2，建立方程求出c，利用离心率为 ，求出a，可得b，即可求椭圆E的方程；（2）设弦MN的中点为P（xp ， yp），xM、xN分别为点M、N的横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆有两个不同的交点，得到△＞0，可得m2＜3k2+1，通过|AM|=|AN|，判断AM⊥AN，得到2m=3k2+1，然后求得m的取值范围．