【题目】已知函数f(x)=x+ +lnx,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;
(3)讨论函数g(x)=f′(x)﹣x的零点个数.
【答案】
(1)解:a=1时,f(x)=x+ +lnx,(x>0),
f′(x)=1﹣ +
,f′(1)=1,f(1)=2,
故切线方程是:y﹣2=x﹣1,
整理得:x﹣y+1=0
(2)解:f′(x)=1﹣ +
=
,
若f(x)在区间(1,4)内单调递增,
则x2+x﹣a≥0在(1,4)恒成立,
即a≤x2+x在(1,4)恒成立,
而y=x2+x的最小值是2,
故a≤2
(3)解:g(x)=f′(x)﹣x=1﹣ +
﹣x=
,(x>0),
令h(x)=﹣x3+x2+x﹣a,(x>0),
讨论函数g(x)=f′(x)﹣x的零点个数,
即讨论h(x)=﹣x3+x2+x﹣a,(x>0)的零点个数,
即讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数,
令m(x)=﹣x3+x2+x,(x>0),
m′(x)=﹣3x2+2x+1=﹣(3x+1)(x﹣1),
令m′(x)>0,解得:0<x<1,令m′(x)<0,解得:x>1,
∴m(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
∴m(x)max=m(1)=1,x→0时,m(x)→0,
x→+∞时,m(x)→﹣∞,
如图示:
,
结合图象:a>1时,g(x)无零点,
a=1或a≤0时,g(x)1个零点,
0<a<1时,g(x)2个零点
【解析】(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;(2)求出函数的导数,问题转化为a≤x2+x在(1,4)恒成立;(3)问题转化为讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数,令m(x)=﹣x3+x2+x,(x>0),根据函数的单调性恒成m(x)的大致图象,结合图象,通过讨论a的范围求出函数的零点即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】设幂函数f(x)=(a﹣1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点 .
(1)求k,a的值;
(2)若函数h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b在[0,2]上的最大值为3,求实数b的值.
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【题目】已知椭圆E的中心在原点,离心率为 ,右焦点到直线x+y+
=0的距离为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)椭圆下顶点为A,直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣bx+c,f(x)的对称轴为x=1且f(0)=﹣1.
(1)求b,c的值;
(2)当x∈[0,3]时,求f(x)的取值范围.
(3)若不等式f(log2k)>f(2)成立,求实数k的取值范围.
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【题目】知函数f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R).
(1)判断函数 f (x)的单调性;
(2)若函数 f (x)有两个极值点x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)<﹣3.
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【题目】如图,点P在△ABC内,AB=CP=2,BC=3,∠P+∠B=π,记∠B=α.
(1)试用α表示AP的长;
(2)求四边形ABCP的面积的最大值,并写出此时α的值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AH⊥CD于H,BD交AH于P,且PC⊥BC
(1)求证:A,B,C,P四点共圆;
(2)若∠CAD= ,AB=1,求四边形ABCP的面积.
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【题目】已知 =(sin2x,2cos2x﹣1),
=(sinθ,cosθ)(0<θ<π),函数f(x)=
的图象经过点(
,1).
(1)求θ及f(x)的最小正周期;
(2)当x∈ 时,求f(x)的最大值和最小值.
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