【题目】设幂函数f(x)=(a﹣1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点 .
(1)求k,a的值;
(2)若函数h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b在[0,2]上的最大值为3,求实数b的值.
【答案】
(1)解:设幂函数f(x)=(a﹣1)xk(a∈R,k∈Q)的图象过点 .
则a﹣1=1,即a=2,此时f(x)=xk,
即 =2,即
=2,解得k=4
(2)解:∵a=2,k=4,
∴f(x)=x4,
则h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b
=﹣(x2﹣b)2+1﹣b+b2,
设t=x2,则0≤t≤4,
则函数等价为g(t)=﹣(t﹣b)2+1﹣b+b2,
若b≤0,则函数g(t)在[0,4]上单调递减,最大值为g(0)=1﹣b=3,即b=﹣2,满足条件.
若0<b≤4,此时当t=b时,最大值为g(b)=1﹣b+b2=3,
即b2﹣b﹣2=0,解得b=2或b=﹣1(舍).
若b>4,则函数g(t)在[0,4]上单调递增,最大值为g(4)=3b﹣15=3,即3b=18,b=6,满足条件
综上b=﹣2或b=2或b=6
【解析】(1)根据幂函数的定义和性质进行求解即可求k,a的值;(2)若函数h(x)=﹣f(x)+2b +1﹣b在[0,2]上的最大值为3,利用换元法转化一元二次函数,利用一元二次函数的性质即可求实数b的值.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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【题目】设y1=loga(3x+1),y2=loga(﹣3x),其中a>0且a≠1.
(1)若y1=y2 , 求x的值;
(2)若y1>y2 , 求x的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
(1)当a=﹣ ,c=
时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当c= +1时,若f(x)≥
对x∈(c,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设函数f(x)的图象在点P(x1 , f(x1))、Q(x2 , f(x2))两处的切线分别为l1、l2 . 若x1= ,x2=c,且l1⊥l2 , 求实数c的最小值.
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【题目】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如表统计数据表:
收入x (万元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (万元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根据如表可得回归直线方程y= x+
,其中
=0.76,
=
﹣
,据此估计,该社区一户收入为20万元家庭年支出为( )
A.11.4万元
B.11.8万元
C.15.2万元
D.15.6万元
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【题目】给出下列四种说法:
①函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logaax(a>0且a≠1)的定义域相同;
②函数y=x3与y=3x的值域相同;
③函数y= +
与y=
都是奇函数;
④函数y=(x﹣1)2与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.
其中正确的序号是(把你认为正确叙述的序号都填上).
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【题目】已知函数f(x)=4x+a2x+3,a∈R
(1)当a=﹣4时,且x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)>0在(0,+∞)对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x+ +lnx,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;
(3)讨论函数g(x)=f′(x)﹣x的零点个数.
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