Question

【题目】已知函数f（x）=4x+a2x+3，a∈R
（1）当a=﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣4时，令t=2x，

由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1

当t=2时，ymin=﹣1；当t=4时，ymax=3．

∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]

（2）解：设t=2x，则t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立

等价于t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，

∴a＞﹣（t+ ）在（1，+∞）上恒成立，

∴a＞[﹣（t+ ）]max，

设g（t）=﹣（t+ ），t＞1，函数g（t）在（1， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减

∴g（t）max=g（ ）=﹣2 ，

∴a＞﹣2

【解析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；（2）令t=2x ， 由x的范围得到t的范围，则问题转化为t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．