Question

【题目】已知等比数列{an}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{bn}满足bn=3﹣2log2an ．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴a2=4a2（q﹣q2），化为：4q2﹣4q+1=0，解得q= ．

∴an= =22﹣n．

∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1

（2）解：cn= = = ．

∴数列{cn}的前n项和Sn= [2+322+5×23+…+（2n﹣1）2n]，

∴2Sn= [22+323+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1]，

∴﹣Sn= = ，

可得：Sn=

（3）解：不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），

令dn=22﹣2n（2n﹣1），则dn+1﹣dn= ﹣ = = ＜0，

因此dn+1＜dn，即数列{dn}单调递减，因此n=1时dn取得最大值d1=1．

∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，

∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．

∴k＜2 ，∵2 ≥2 =2 ，当且仅当λ= 时取等号．

∴ ．

即k的取值范围是

【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，根据a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化简解得q．可得an ． 利用对数的运算性质可得bn ． （2）cn= = = ．利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn ， 即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n（2n﹣1），令dn=22﹣2n（2n﹣1），通过作差可得：dn+1＜dn ， 即数列{dn}单调递减，因此n=1时dn取得最大值d1=1．根据对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根据λ＞0．可得k＜2 ，再利用基本不等式的性质即可得出．