【题目】已知二次函数的导函数的图像与直线
平行,且
在
处取得极小值
.设
.
(1)若曲线上的点
到点
的距离的最小值为
,求
的值;
(2)如何取值时,函数
存在零点,并求出零点.
【答案】(1);(2)当k=1时,有一个零点
;当
时,有一个零点
;当
或
时,函数有两个零点
.
【解析】试题分析:(1)先根据二次函数的顶点式设出函数的解析式,然后对其进行求导,根据
的导函数的图象与直线
平行求出
的值,进而可确定函数
的解析式,然后设出点
的坐标,根据两点间的距离公式表示出
,再由基本不等式表示其最小值,解方程即可得结果;(2)先根据(1)的内容得到函数
的解析式,即
,然后先对二次项的系数等于0进行讨论,再当二次项的系数不等于0即为二次方程时,根据方程的判别式进行讨论即可得到答案.
试题解析:(1)依题可设,则
,又
的图象与直线
平行,
,
,
,设
,则
当且仅当
时,
取得最小值,即
取得最小值
,当
时,
,解得
,当
时,
,解得
.
(2)由,得
,当
时,方程
有一解
,函数
有一零点,
;当
时,方程
有二解
,若
,函数
有两个零点,
,即
,若
,
函数有两零点,
,即
当时,方程
有一解
,函数
有一零点,
,综上,当
时,函数
有一零点,
;当
或
时,函数
有两个零点,
,当
时,函数
有一个零点
.
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【题目】“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示:
价格x | 5 | 5.5 | 6.5 | 7 |
销售量y | 12 | 10 | 6 | 4 |
通过分析,发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系.
(Ⅰ)求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程;
(Ⅱ)欲使销售量为13杯,则价格应定为多少?
注:在回归直线y= 中,
,
=
﹣
.
=146.5.
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【题目】已知等比数列{an}满足a1=2,a2=4(a3﹣a4),数列{bn}满足bn=3﹣2log2an .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若λ>0,求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范围.
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【题目】设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn , 已知a1=1,S3=12.
(1)求a24与S7的值;
(2)已知m、n均为正整数,满足am=Sn . 试求所有n的值构成的集合.
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【题目】已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x2+(2a﹣3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,如果与
都是整数,就称点
为整点,下列命题中正确的是__________.(写出所有正确命题的编号)
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②若与
都是无理数,则直线
不经过任何整点;
③直线经过无穷多个整点,当且仅当
经过两个不同的整点;
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:
与
都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.
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【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60)…[90,100]后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ) 求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40,50),现从成绩属于该区间的学生中任选两人,求甲、乙中至少有一人被选的概率.
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