Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点为F（-c，0），F′（c，0），c＞0，过F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y²=4cx交于点P，若P在以FF′为直径的圆上，则该双曲线的离心率平方为（　　）

• A、

  3+ 5

  2

• B、

  5

• C、

  5 -1

  2

• D、

  1+ 5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立a，c的关系即可得到结论．

解答： 解：如图，设抛物线y²=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，
双曲线的右焦点为F'，由题意可知FF'为圆x²+y²=c²的直径，
∴设P（x，y），（x＞0），则PF'⊥PF，且tan∠PFF'=

b

a

，
∴满足

y2=4cx x2+y2=c2 y x+c = b a

，
即有x²+4cx-c²=0，
则x=（-2±

5

）c，
即x=（

5

-2）c，或x=（-

5

-2）c（舍去）
将x=（

5

-2）c代入第三式，
得

y

( 5 -1)c

=

b

a

，
即y=

( 5 -1)bc

a

，再将y代入第一式得，

b2c2(6-2 5 )

a2

=4c•（

5

-2）c，
∴

b2

a2

=

4( 5 -2)

6-2 5

=

c2-a2

a2

=e²-1，
即e²=1+

4( 5 -2)

6-2 5

=

5 +1

2

，
故选：D．

点评：熟练掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．本题运算量较大，综合性较强．