Question

8．正数x，y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1．
（1）求xy的最小值；
（2）求x+2y的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用基本不等式的性质求解．
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，
那么：1=$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{1}{x}•\frac{9}{y}}$=$\frac{6}{\sqrt{xy}}$，当且仅当9x=y，即x=2，y=18时取等号．
即：$\sqrt{xy}≥6$，
所以：xy的最小值36．
（2））∵x＞0，y＞0，$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，
那么：x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=$1+\frac{2y}{x}+\frac{9x}{y}+18$$≥19+2\sqrt{\frac{2y}{x}\frac{9x}{y}}=19+6\sqrt{2}$，当且仅当3x=$\sqrt{2}$y，即x=$\sqrt{6}+6\sqrt{2}$，y=$\frac{3\sqrt{3}+18}{2}$时取等号．
所以：x+2y的最小值为$19+6\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质的运用能力．属于基础题．