Question

【题目】已知为实数，函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若，求使方程有唯一解的的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，递增区间为；当时，递减区间为，递增区间为； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）首先求出函数定义域与，然后根据与0的大小关系，分类讨论，即可求得函数的单调区间；

（Ⅱ）根据（Ⅰ），分和讨论函数的单调性，从而根据函数单调性求得的最小值；

（Ⅲ）设，然后将问题转化为有唯一解，从而通过求导研究函数的单调性得到，进而构造新函数，通过研究新函数的单调性求得的值．

（Ⅰ）由题意，函数，

可得的定义域为，且，

当时，，则在上是增函数；

当时，令，解得；令，得，

所以在上是减函数，在上是增函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

①当时，在上是增函数，所以；

②当时，在上是减函数，在上是增函数，

若，即时，在上是增函数，所以；若，即时，在上是减函数，在上增函数，

所以，

综上可得.

（Ⅲ）若方程有唯一解，设有唯一解，

令，可得，

因为，，所以或（舍去），

当时，，在上是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

因为有唯一解，所以，

所以，即，所以，

因为，所以，

设函数，∵时，是增函数，

所以至多有一个解，且，

所以方程得解为，即，解得，

所以当时，方程有唯一解时的值为．