Question

【题目】已知点A（0，2），B为抛物线x2＝2y﹣2上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线l交曲线E于M、N两点，使得△MAN为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y（2）直线l不存在，详见解析

【解析】

（1）设C（x，y），B（m，n），利用中点坐标公式得到，代入抛物线方程，即可求出点C的轨迹方程，即曲线E的方程；

（2）设直线l的方程为：y＝x+t，与曲线E的方程联立，得到△＞0，利用韦达定理求出MN的中点P的坐标，再利用KAPKl＝﹣1求出t的值，经检验不满足△＞0，从而直线l不存在.

（1）设C（x，y），B（m，n），

由B是AC的中点，则，

因为B在抛物线x2＝2y﹣2上，所以m2＝2n﹣2，所以，

化简得：x2＝4y，所以曲线E的方程为：x2＝4y．

（2）设直线l的方程为：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立方程，消去y得：x2﹣4x﹣4t＝0，

所以△＝16+16t＞0，x1+x2＝4，x1x2＝﹣4t，可得MN的中点P（2，2+t），

因为KAPKl＝﹣1，所以，解得，

将代入，不符合，

所以直线l不存在.