Question

【题目】已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.

（i）当面积最大时，求的方程；

（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析，不可能构成等比数列.

【解析】

（1）设，.求出的坐标，根据，求出.把点代入椭圆方程，结合，求出，即得椭圆C的方程；

（2）（i）设方程为，.把直线的方程代入椭圆方程，由韦达定理、弦长公式求出.由点到直线的距离公式求出点P到的距离，则，根据基本不等式求面积的最大值，即求的方程；（ii）要证结论成立，只须证明，即证直线为的平分线，转化成证明.

又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，可求，又.由题意，，，四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.

（1）设，，

则，.

，.

又在椭圆上，故，

又，解得，，

故所求方程为.

（2）（i）由于，

设方程为，.

由，消y整理得，

，

则

.

又点P到的距离,

.

当且仅当，，即时，等号成立.

故直线AB的方程为：.

（ⅱ）要证结论成立，只须证明：，

由角平分线性质即证：直线为的平分线，

转化成证明：.

因为

因此结论成立.

又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，

由得

令，，

则，

所以，所以，

故所研究的4条直线的斜率分别为，，，，

若这四个数成等比数列，且其公比记为q，

则应有或，或.

因为不成立，所以，

而当时，，，

此时直线PB与重合，不合题意，

故，，PA，PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.