Question

【题目】已知定点（为正常数）,为轴负半轴上的一个动点,动点满足,且线段的中点在轴上.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设为曲线的一条动弦（不垂直于轴）.其垂直平分线与轴交于点.当时,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】

(1)设,进而求得的坐标,再根据三角形的性质可得即可得满足的方程,化简即可.

(2)由(1)以及可得轨迹的方程为,再设弦所在直线方程为,,,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理求得的中点,进而求得线段的垂直平分线的方程,代入得到,再根据弦长公式求解,代入利用二次不等式的最值求解即可.

解：（1）设,则的中点的坐标为,.

又,故.

由题意知,所以,即,所以.

因为点不能在轴上,故曲线的方程为.

（2）设弦所在直线方程为,,.

由得.①

则,,则线段的中点为,

即.

线段的垂直平分线的方程为.

令,,得.得.

所以

由①,

.

得,即.

所以,当,即时,取得最大值,最大值等于36,即的最大值为6.