Question

【题目】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值为M，正实数a，b满足a+b＝M．

（1）求2a2+b2的最小值；

（2）求证：aabb≥ab．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】

（1）去绝对值得分段函数：，由单调性易求函数f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；

（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证.

解：（1）函数，

∴在（∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

当x＝1时，f（x）取得最大值，

即M＝2，

正实数a，b满足a+b＝2，

由柯西不等式可得（2a2+b2）（1）≥（ab）2，

化为2a2+b2，

所以当，即b，a时，2a2+b2取得最小值；

（2）证明：因为a+b＝2，a，b＞0，要证aabb≥ab，即证alna+blnb≥lna+lnb，

即证（a﹣1）lna≥（1﹣b）lnb，

即证（a﹣1）lna≥（a﹣1）ln（2﹣a），

即证（1﹣a）ln（1）≥0，

当0＜a＜1时，1＞1，所以ln（1）＞0，

由1﹣a＞0，可得（1﹣a）ln（1）＞0；

当a＝1时，（1﹣a）ln（1）＝0；

当1＜a＜2时，01＜1，所以ln（1）＜0，

因为1﹣a＜0，所以（1﹣a）ln（1）＞0，

综上所述，（1﹣a）ln（1）≥0成立，即aabb≥ab.