Question

【题目】已知椭圆E：，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线上.

（1）记点，求过点与椭圆E相切的直线方程；

（2）以为直径的圆过点F，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小.

【解析】

（1）设过点的直线为，联立椭圆方程，利用即可求出斜率；

（2）设直线l：，联立椭圆方程，表示出，表示出点到直线l：的距离为，表示出，用上为直径，，进一步转化为求函数的最小值，求最小值时用换元法.

.

解：（1）设过点的直线为，

直线代入椭圆E：得，

，，，

过点与椭圆E相切的直线方程为.

（2）焦点，设，，直线l：.

直线l与椭圆E联立消去x得，

，，

.

点到直线l：的距离为，

以为直径的圆过点F，得，，

，

令，，

求导，，，

在上递增，

当时，最小.