【题目】若关于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]
【答案】C
【解析】
讨论a<0时,f(x)=e2x﹣alnx无最小值,不符题意;检验a=0时显然成立;讨论a>0时,求得f(x)的导数和极值点m、极值和最值,解不等式求得m的范围,结合a=2me2m,可得所求范围.
解:当a<0时,f(x)=e2x﹣alnx为(0,+∞)的增函数(增函数+增函数=增函数),此时时,f(x)
,所以不符合题意;
当a=0时,e2x﹣alnxa即为e2x≥0显然成立;
当a>0时,f(x)=e2x﹣alnx的导数为=2e2x
,
由于y=2e2x在(0,+∞)递增(增函数+增函数=增函数),
设=0的根为m,即有a=2me2m,
.
当0<x<m时,<0,f(x)单调递减;当x>m时,
>0,f(x)单调递增,
可得x=m处f(x)取得极小值,且为最小值e2m﹣alnm,
由题意可得e2m﹣alnma,即
alnm
a,
化为m+2mlnm≤1,设g(m)=m+2mlnm,=1+2(1+lnm),
所以函数在
内单调递减,在
单调递增.
当m=1时,g(1)=1,当时,
.
可得m+2mlnm≤1的解为0<m≤1,
设
所以函数在
单调递增.
则a=2me2m∈(0,2e2],
综上可得a∈[0,2e2],
故选:C.
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【题目】一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.
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【题目】某电视台为宣传本市,随机对本市内岁的人群抽取了
人,回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ,统计结果如图表所示.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 |
第1组 | [15,25) | a | 0.5 |
第2组 | [25,35) | 18 | x |
第3组 | [35,45) | b | 0.9 |
第4组 | [45,55) | 9 | 0.36 |
第5组 | [55,65] | 3 | y |
(1)分别求出的值;
(2)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数;
(3)若第1组回答正确的人员中,有2名女性,其余为男性,现从中随机抽取2人,求至少抽中1名女性的概率.
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【题目】如图,在直角梯形中,
.直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到,且使得平面
平面
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)延长至点
,使
为平面
内的动点,若直线
与平面
所成的角为
,且
,求点
到点
的距离的最小值.
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【题目】第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
收看时间(单位:小时) | ||||||
收看人数 | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全列联表:
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | ||
非体育达人 | 30 | ||
合计 |
并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为,求的
分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】已知(2,1),
(1,7),
(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)
(1)求使取到最小值时的
;
(2)根据(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
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