Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.

解析；

（1），定义域

所以.

讨论：

当时，对或，成立，

所以函数在区间，上均是单调递增；

当时，对或，成立，

所以函数 在区间，上均是单调递减；

当时，函数是常函数，无单调性.

（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立.

令，则.

讨论：

①当，即时，且不恒为0，

所以函数在区间单调递增.

又，所以对任意恒成立.

故符合题意

②当时，令得；令，得.

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即当时，存在，使.

故知对任意不恒成立，故不符合题意.

综上实数的取值范围是.