Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，．

（1）求证：B1C⊥AB；

（2）若∠CBB1＝60°，AC＝BC，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2)．

【解析】

(1)由侧面BB1C1C为菱形，得B1C⊥BO，再由AC＝AB1，O为B1C的中点，得B1C⊥AO，利用直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面ABO，从而得到B1C⊥AB；

(2)点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，即AO⊥平面BB1C1C，由(1)知OB⊥OB1，以O为坐标原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面BAA1 的一个法向量与平面ACA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AA1﹣C的余弦值．

(1)证明：∵侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，又AC＝AB1，O为B1C的中点，∴B1C⊥AO，

而AO∩BO＝O，∴B1C⊥平面ABO，得B1C⊥AB；

(2)解：∵点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，即AO⊥平面BB1C1C，又由（1）知OB⊥OB1，

∴以O为坐标原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵∠CBB1＝60°，AC＝BC，

设BC＝2a，则，，，，

，，．

设平面BAA1 的一个法向量为，

由，取z1＝1，得；

设平面ACA1的一个法向量为，

由，取，得．

∴．由图可知，二面角B﹣AA1﹣C为锐角，

∴二面角B﹣AA1﹣C的余弦值为．