【题目】棱长为的正四面体
的外接球与内切球的半径之和为______,内切球球面上有一动点
,则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
(1)将正四面体放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径.
(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将转换,从而得出
取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.
(1) 将正四面体放入如图正方体,则正四面体
的外接球与该正方体的外接球为同一球.半径为
.
设正四面体的内切球半径为
,根据等体积法有
,解得
.
故外接球与内切球的半径之和为.
(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心是线段
上以
为定点,空间中满足
的点
的集合,连接
并延长交平面
于
,交内切球上方的点设为
,过
作
,交
于
,连接
,设
.
由(1)空得.
所以,解得
,
,
所以,所以
.
所以,
在中,
,
,
,
所以.
所以的最小值为
故答案为:(1);(2)
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【题目】已知定点(
为正常数),
为
轴负半轴上的一个动点,动点
满足
,且线段
的中点在
轴上.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设为曲线
的一条动弦(
不垂直于
轴).其垂直平分线与
轴交于点
.当
时,求
的最大值.
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【题目】已知椭圆C:(
)的离心率为
,过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P,Q两点,且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B是椭圆C上的两个不同点,若直线,
的斜率之积为
(以O为坐标原点),M是
的中点,连接
并延长交椭圆C于点N,求
的值.
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【题目】函数和
都是定义在
上的单调减函数,且
,若对于任意
,存在
,
,使得
成立,则称
是
在
上的“被追逐函数”,若
,下述四个结论中正确的是( )
①是
在
上的“被追逐函数”;
②若和函数
关于
轴对称,则
是
在
上的“被追逐函数”;
③若是
在
上的“被追逐函数”,则
;
④存在,使得
是
在
上的“被追逐函数”.
A.①③④B.①②④C.②③D.①③
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【题目】已知函数,其中
,
,
为自然对数的底数.
若
,
,①若函数
单调递增,求实数
的取值范围;②若对任意
,
恒成立,求实数
的取值范围.
若
,且
存在两个极值点
,
,求证:
.
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【题目】正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
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【题目】已知函数(
,
).
(1)当时,若函数
在
上有两个零点,求
的取值范围;
(2)当时,是否存在
,使得不等式
恒成立?若存在,求出
的取值集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),以原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,﹣2),M是曲线C上任意一点,求△ABM面积的最小值.
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