Question

【题目】已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且.

（1）求椭圆C的方程；

（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（以O为坐标原点），M是的中点，连接并延长交椭圆C于点N，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将代入椭圆方程，可得，再由，结合，解出，得到椭圆方程.
（2）设，，，,则得到，由在椭圆上，将坐标代入椭圆方程，得到关于的方程，从而解出的值，得到答案.

（1）联立，解得，故，又，

，联立三式，解得，，.

故椭圆C的方程为.

（2）设，，，，

∵M是的中点，，，.

又，，即，

∵点在椭圆C上，，

即.（*）

∵，在椭圆C上，，①②

又直线，斜率之积为，，即，③

将①②③代入（*）得，解得

所以