Question

【题目】已知数列，若对任意，都有成立，则称数列为“差增数列”．

（1）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；

（2）若数列为“差增数列”，且，，对于给定的正整数m，当，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；

（3）若数列为“差增数列”，，且，证明:．

Answer 1

【答案】（1）是；见解析（2）；（3）见解析

【解析】

（1）数列是“差增数列”.由新定义可知，只要证明＞an+1即可；
（2）由新定义可得对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立，可令bn＝an+1﹣an（n≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得an，由于1≤n≤19，结合条件可得m的取值集合；
（3）运用反证法证明，假设x1010x1011≥1，由题意可得x1x2…x2020＝1，＜，运用不等式的性质推得x1009x1012＞1，即可得到矛盾，进而得证.

解：（1）数列是“差增数列”.

因为任意的n∈N*，都有an+an+2＝n2+（n+2）2＝2n2+4n+4＝2（n+1）2+2＞2（n+1）2＝2an+1，

即＞an+1成立，

所以数列是“差增数列”；

（2）由已知，对任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立.

可令bn＝an+1﹣an（n≥1），则bn∈N，且bn＜bn+1，

又an＝m，要使项数k达到最大，且最大值为20时，必须bn（1≤n≤18）最小.

而b1＝0，故b2＝1，b3＝2，…，bn＝n﹣1.

所以an﹣a1＝b1+b2+…+bn﹣1＝0+1+2+…+（n﹣2）＝（n﹣1）（n﹣2），

即当1≤n≤19时，an＝1+，a19＝154，因为k的最大值为20，

所以18≤a20﹣a19＜18+19，即18≤m﹣154＜18+19，

所以m的所有可能取值的集合为{m|172≤m＜191，m∈N*}.

（3）证明：（反证法）假设x1010x1011≥1.由已知可得xn（n＝1，2，…，2020）均为正数，且x1x2…x2020＝1，＜.

而由＜可得＜＜，

即x1010x1011＜x1009x1012，所以x1009x1012＞1.

又＝＜＝，即x1008x1013＞1，

同理可证x1007x1014＞1，…，x1x2020＞1，

因此x1x2…x2020＞1，这与已知矛盾，

所以x1010x1011＜1.