Question

【题目】设无穷数列的前项和为，已知，．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立?若存在，请写出数列的所有通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立..

【解析】

（1）令，则，解得.

（2），

，，

两式相减得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.

（3）假设存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立，

则，

因为为无穷子数列，则存在使得

.

所以整理得，与为递增数列矛盾，故假设不成立，

即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.

（1）令，

（2），

，，

两式相减得，

整理得，又因为，

故数列的首项为1，公差为1的等差数列，

所以，故.

（3）假设存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立，

则，

因为为无穷子数列，则存在使得

.

所以整理得，

由（2）得，数列为数列的一个无穷子数列，则为递增数列，这与矛盾，故假设不成立，

即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.