Question

【题目】如图，已知抛物线：，过直线上一点作直线交抛物线于，两点，且点为中点、作直线交轴于点．

（1）求点的坐标；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设点，，中点，直线的斜率为，利用点差法得，写出直线的方程可得的坐标；

（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得，利用点到直线的距离公式得点到直线的距离，进而表示出的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值．

设点，，中点，

直线的斜率为，（斜率显然存在且不为0）．

由可得，

所以，故，

（1）直线：，即，解得点．

（2）因为直线经过点，直线的斜率为，

所以可得直线的方程是：，

由联立可得，

所以，

所以，

又因为点到直线的距离为，

所以的面积为：

当时，的面积取到最大值．