Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.

（1）证明：平面；

（2）当二面角的余弦值为时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析

【解析】

（1）取中点，连，可证四边形为平行四边形，得到，即可证明结论；

（2）不妨设，如下图建立空间直角坐标系，设，得到坐标， 求出平面的法向量坐标，取平面法向量为，根据已知求出，证明即可.

（1）如图，取中点，连，

因为是的中点，所以，

在直三棱柱中，，

因为是中点，所以，

所以四边形为平行四边形，，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，

设，，，，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，

所以平面的一个法向量，

平面的一个法向量，

所以，

此时，，

所以，即.