Question

【题目】已知函数(，).

（1）当时，若函数在上有两个零点，求的取值范围；

（2）当时，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，的取值集合为.

【解析】

（1）将代入，求得函数的导数，当时显然不成立，当时，利用零点的存在定理，即可求解的结论；

（2）当时，设，由，进而条件转化为不等式对恒成立，得到是函数的最大值，也是函数的极大值，故，当时，利用导数得到不等式恒成立，即可求解.

（1）当时，，()，

当时，，在上单调递增，不合题意，舍去；

当时，，，

进而在上单调递增，在上单调递减，

依题意有，，，解得，

又，且，在上单调递增，

进而由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点；

下面先证()恒成立，令，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

进而，∴，∴，

可得，

若，得，

因为，则，即当时，取，有，

即存在使得，

进而由零点存在定理可知在上存在唯一零点；

（2）当时，存在，使得不等式恒成立.

证明如下：

当时，设，则，

依题意，函数恒成立，

又由，进而条件转化为不等式对恒成立，

所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得.

当时，()，

令可得，令可得.

故在上递增，在上递减.

因此，即不等式恒成立.

综上，存在且的取值集合为.