Question

【题目】设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于两点，若直线垂直于轴时，有.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线： 上两点， 关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）由离心率可得的关系，再由，结合隐含条件，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的坐标，进一步得到的坐标，联立直线与椭圆的方程，求得的坐标，则所在的直线方程可求，取，求得的坐标，得到，结合的面积为，即可求解实数的值，得到直线方程.

试题解析：

（1）设，因为所以有，又由得，

且，得，因此椭圆的方程为： .

（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理， 解得，或.由点异于点，

可得点.由，可得直线的方程为

，令，

解得，故. 所以.

又因为的面积为，故，

整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为或.