Question

【题目】如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（1）求证：⊥平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连结，得，所以平面，取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出，，，利用向量证得，，从而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，由（1）知为平面的法向量，计算，然后可求出答案.

（1）取中点，连结．

∵为正三角形，∴．

∵在正三棱柱中，平面平面，

∴平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

∴，，．

∴，，

∴，，且

∴平面．

（2）设平面的法向量为．，．

∴，即，解得，

令得为平面的一个法向量．

由（1）知平面，为平面的法向量，

∴．

∴锐二面角的大小的余弦值为．