Question

【题目】已知椭圆的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍.椭圆的上、下顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于两点(不同于两点).

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，求点的坐标；

（3）设直线相交于点，求证：是定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的坐标为或.（3）见解析

【解析】

（1）根据题意，可得，，，求出，，即可求得椭圆的方程；

（2）由（1）得出点B的坐标为，设点，根据，得出，与椭圆方程联立，即可求出点的坐标；

（3）设，，则直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，，分别求出直线和直线的方程，从而求得和的关系式，化简整理得出，即为定值.

解：（1）根据题意，已知椭圆右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍，

得，，，

解得：，，

所以椭圆的方程为：.

（2）由题意得，点的坐标为，设点，

由于经过点的直线与椭圆相交于两点，

已知，则，所以,

因为，，

则

整理得：，

又，解得：或或（舍去），

所以所求点的坐标为或.

（3）由于经过点的直线与椭圆相交于两点(不同于两点)，

设直线的斜率为，可知斜率存在，则直线的方程为，

由题可知，，设，，

由方程组，得，

所以，，

由于直线相交于点，

直线的方程为，得，

直线BM的方程为，得，

所以，

因为，

得，

所以为定值1.