Question

若直线y=x+b与曲线x=

2-y2

恰有一个公共点，则实数b的取值范围是

-

2

＜b≤

2

或b=-2

．

Answer 1

分析：把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，-

2

）和另一个点，及与曲线交于点（0，

2

），分别求出b，则b的范围可得．

解答：解：x=

2-y2

，化简得x²+y²=2，
注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为

2

，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，
从图上看出其三个极端情况分别是：
直线在第四象限与曲线相切，
交曲线于（0，-

2

）和另一个点，
及与曲线交于点（0，

2

）．
分别算出三个情况的b值是：-2，-

2

，

2

．
因为b就是直线在y轴上的截距了，
所以看图很容易得到b的范围是：-

2

＜b≤

2

或b=-2．
故答案为：：-

2

＜b≤

2

或b=-2．

点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．