Question

19．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1．
（1）计算f（$\frac{9}{7}$）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中的函数解析式，将x=$\frac{9}{7}$代入，结合对数的运算性质，可得答案；
（2）根据奇函数的定义，结合已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，可证得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，
∴f（$\frac{9}{7}$）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{\frac{9}{7}+1}{\frac{9}{7}-1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$8=${log}_{{（2}^{-2}）}（{2}^{3}）$=-$\frac{3}{2}$，
（2）函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1为奇函数，理由如下：
由函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1的定义域关于原点对称，
且f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{-x+1}{-x-1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x-1}{x+1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ （$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
故函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1为奇函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．