Question

4．已知函数f（x）=log₂²x+2alog₂$\frac{1}{x}$+b，若x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最小值-4．
（1）求a-b的值；
（2）在题（1）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集A．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，结合x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-4，建立方程，即可求a与b的值；
（2）f（x）＞0即（log₂x）²+2log₂x-3＞0，即可求出x的集合A．

解答 解：（1）f（x）=（log₂x）²-2alog₂x+b
=（log₂x）²-2alog₂x+b=（log₂x-a）²+b-a²，
∵x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-4，
∴log₂$\frac{1}{2}$=a，b-a²=-4，
∴a=-1，b=-3；
（2）f（x）=（log₂x）²+2log₂x-3＞0，
∴log₂x＜-3或log₂x＞1，
∴0＜x＜$\frac{1}{8}$或x＞2，
∴A={x|0＜x＜$\frac{1}{8}$或x＞2}．

点评 本题考查函数的最值，考查学生解不等式的能力，确定函数的解析式是关键．