Question

13．已知数列{a_n}，a₁=2，当n≥2时，a_n=2a_n-1+3•2^n-1
（1）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}及数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=2a_n-3•2ⁿ，设T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）对等式同除以2ⁿ，再由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）化简c_n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=2，当n≥2时，a_n=2a_n-1+3•2^n-1
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{2}$，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
即有a_n=（3n-1）•2^n-1；
（2）c_n=2a_n-3•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ；
T_n=（-1）•2+2•2²+5•2³+…+（3n-4）•2ⁿ，
2T_n=（-1）•2²+2•2³+5•2⁴+…+（3n-4）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=-2+3（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（3n-4）•2ⁿ⁺¹
=-2+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-4）•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=14+（3n-7）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式以及等比数列的求和的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算化简能力，属于中档题．