Question

9．求下列函数的定义域与值域．
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$；
（2）y=${（\frac{2}{3}）}^{-|\begin{array}{l}{x}\end{array}|}$；
（3）y=4^x+2^x+1+1．

Answer 1

分析 （1）容易看出x≠4，从而定义域为{x|x≠4}，而由$\frac{1}{x-4}≠0$可得到${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$，这样即可得出该函数的值域；
（2）定义域为R，由-|x|≤0，根据指数函数$y=（\frac{2}{3}）^{x}$的单调性即可得出该函数的值域；
（3）定义域显然为R，配方得到y=（2^x+1）²，从而根据2^x＞0即可得出y的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）定义域为{x|x≠4}；
$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$，且${2}^{\frac{1}{x-4}}＞0$；
∴该函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}；
（2）定义域为R；
-|x|≤0；
∴$（\frac{2}{3}）^{-|x|}≥1$；
∴该函数的值域为[1，+∞）；
（3）定义域为R；
y=（2^x+1）²；
∵2^x＞0；
∴2^x+1＞1；
∴y＞1；
∴该函数的值域为（1，+∞）．

点评 考查函数定义域、值域的概念及其求法，指数函数的值域，以及指数函数的单调性．