Question

18．数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列，且a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+n-1．于是a₂=2a₁+4，a₃=4a₁+16．由于a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列．可得${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+\frac{2}{5}）{a}_{3}$，代入解出a₁，即可得出．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n}}{{4}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+n-1．
∴a₂=2a₁+4，a₃=4a₁+16．
∵a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}=（{a}_{1}+\frac{2}{5}）{a}_{3}$，
化为$（2{a}_{1}+4）^{2}$=$（{a}_{1}+\frac{2}{5}）（4{a}_{1}+16）$，
化为：a₁=6．
∴a_n=（n+2）•2ⁿ．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n}}{{4}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
∴S_n=$3×\frac{1}{2}$+$4×\frac{1}{{2}^{2}}$+$5×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（n+2）×\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×\frac{1}{{2}^{2}}$+$4×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（n+1）×\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（n+2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=4-$\frac{n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．