Question

已知二次函数f（x）=x²+tx（t＞0）在区间[-1，0]上的最小值为-1．
（1）求t的值；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）f（x）=x²+tx=(x+

t

2

)2-

t2

4

．由于x∈[-1，0]，故需要进行分类讨论：①-1≤-

t

2

＜0，即0＜t≤2；②-

t

2

＜-1即t＞2，根据最小值为-1，可求t的值；
（2）由（1）得f（x）=x²+2x，根据点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，可得2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)，化简可得

Sn+1

+1=3(

Sn

+1)，所以数列{

Sn

+1}是首项为

S1

+1=2，公比为3的等比数列，故可求S_n的表达式．

解答：解：（1）f（x）=x²+tx=(x+

t

2

)2-

t2

4

．…（1分）
①若-1≤-

t

2

＜0，即0＜t≤2，则当x=-

t

2

时，f（x）取得最小值-

t2

4

，
依题意得-

t2

4

=-1，解得t=2或t=-2（舍去）．…（3分）
②若-

t

2

＜-1即t＞2，则当x=-1时，f（x）取得最小值1-t，
依题意得1-t=-1，解得t=2（不合舍去）．…（5分）
综合①、②得t=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x²+2x，
∵点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，
∴2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)．
∴2(Sn+1-Sn)=(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

+

Sn

+2)，…（8分）
即2(

Sn+1

-

Sn

)(

Sn+1

+

Sn

)=(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

+

Sn

+2)．
∵a_n＞0，
∴S_n＞0，则

Sn+1

+

Sn

＞0．
∴2(

Sn+1

-

Sn

)=

Sn+1

+

Sn

+2，即

Sn+1

=3

Sn

+2．…（10分）
∴

Sn+1

+1=3(

Sn

+1)．
∴数列{

Sn

+1}是首项为

S1

+1=2，公比为3的等比数列．…（12分）
∴

Sn

+1=2×3n-1．
∴Sn=(2×3n-1-1)2．…（14分）

点评：本题以二次函数为载体，主要考查函数、数列等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力，解题的关键是构造新数列，利用等比数列的定义进行证明．