Question

7．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{a{\;}_{1}x+a{\;}_{2}y-3≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，其中（a₁，a₂是等比数列{an}的前两项，且a₁a₂＞0），若z=3x-2y的最大值为9，最小值为-2，则等比数列{a_n}的前n项和S_n为$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z=3x-2y的最大值为9，最小值为-2，求出a₁=1，a₂=3，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
∵z=3x-2y的最大值为9，最小值为-2，
∴作出直线3x-2y=9和3x-2y=-2，
则由图象知3x-2y=9与x=3相交于C（3，0），
3x-2y=-2与x-y+1=0相交于B，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=-2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（0，1），
则B，C在直线a₁x+a₂y-3=0上
则$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}-3=0}\\{{a}_{2}-3=0}\end{array}\right.$，解得a₁=1，a₂=3，
则公比q=3，
则等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
故答案为：$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）

点评 本题主要考查线性规划以及等比数列前n项和公式的应用，根据目标函数的最值求出首项和公比是解决本题的关键．