Question

17．求顶点在原点，坐标轴为对称轴，且经过x²-2x+y²+6y+1=0的圆心的抛物线标准方程．

Answer 1

分析 先根据圆的方程求出圆心坐标，可得可得抛物线的开口向右或向下，分类讨论设出抛物线的标准方程，把圆心坐标代入求得p的值，可得要求的抛物线标准方程．

解答 解：x²-2x+y²+6y+1=0，即（x-1）² +（y+3）² =9的圆心为（1，-3），半径为3，
再根据抛物线经过圆心（1，-3），可得抛物线的开口向右或向下．
当抛物线的开口向右时，设它的方程为y²=2px （p＞0），把圆心（1，-3）代入，求得p=$\frac{9}{2}$，
故抛物线的方程为y²=9x．
当抛物线的开口向下时，设它的方程为x²=-2py （p＞0），把圆心（1，-3）代入，求得p=$\frac{1}{6}$，
故抛物线的方程为x²=$\frac{1}{3}$y．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．