Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知tanA=$\frac{1}{3}$，设向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b=$\sqrt{5}$，求c²-a²的值；
（2）求B的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$以及两个向量的坐标可得3acosC=2ccosA，进而由余弦定理可得3a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，将其变形可得：3（a²+b²-c²）=2（b²+c²-a²），将b=$\sqrt{5}$代入其中即可得答案，
（2）根据题意易得3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，将其变形可得3tanA=2tanC，即可得tanC=$\frac{1}{2}$，而则tanB=-tan（A+B），由正切的和角公式可得tanB的值，结合B的范围即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
则3acosC=2ccosA，
由余弦定理可得3a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
变形可得：3（a²+b²-c²）=2（b²+c²-a²），
又由b=$\sqrt{5}$，则3（5+a²-c²）=2（5+c²-a²），
则求c²-a²=1；
（2）根据题意，向量$\overrightarrow{x}$=（3a，cosA），$\overrightarrow{y}$=（2c，cosc），且$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，
则3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
变形可得3tanA=2tanC；
又由tanA=$\frac{1}{3}$，则tanC=$\frac{1}{2}$，
则tanB=-tan（A+C）=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
又由0＜B＜π，
则B=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理的运用，解题的关键是利用向量平行的性质，将$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$转化为3acosC=2ccosA．