Question

全不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S_n=

n(1+an)

2

，求证：对任意的不小于2的正整数n，不等式lna_n+1＞

an-1

an3

+lna_n都成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：把数列递推式变形得到数列{

an-1

n-1

}是常数数列，求出

a2-1

2-1

=1后即可得到数列的通项公式，然后构造函数
f（x）=ln(x+1)-

x-1

x3

-lnx，利用导数证明函数在x≥2时为增函数，取x=n得到要证明的不等式．

解答： 证明：n=1时，a1=S1=

1×(1+a1)

2

，a₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(1+an)

2

-

(n-1)(1+an-1)

2

，
整理，得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-1，
等式两边同除以（n-1）（n-2），得

an

n-1

=

an-1

n-2

-

1

(n-1)(n-2)

，
∴

an-1

n-1

=

an-1-1

n-2

，
∴数列{

an-1

n-1

}是常数数列．
又

a2-1

2-1

=1，
∴

an-1

n-1

=1，a_n=n．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
lna_n+1=ln（n+1），

an-1

an3

+lnan=

n-1

n3

+lnn．
构造函数f（x）=ln(x+1)-

x-1

x3

-lnx，
f′(x)=

1

x+1

-

x3-3x2(x-1)

x6

-

1

x

=

1

x+1

-

3-2x

x4

-

1

x

=

(x2+1)(2x2-1)-3

x4(x+1)

．
当x≥2时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[2，+∞）上为增函数，
又f(2)=ln3-

1

8

-ln2＞0．
∴对任意的不小于2的正整数n，不等式lna_n+1＞

an-1

an3

+lna_n都成立．

点评：本题考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数列的函数特性，是压轴题．