Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是线段AB中点.

（1）证明：D1E⊥CE；

（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；

（3）求A点到平面CD1E的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据线面垂直的性质定理，证明CE⊥面D1DE即可证明：D1E⊥CE；
（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；
（3）根据点到平面的距离公式，即可求A点到平面CD1E的距离.

（1）证明：DD1⊥面ABCD，CE面ABCD；

所以DD1⊥CE，

Rt△DAE中，AD＝1，AE＝1，

DE，

同理：CE，又CD＝2，CD2＝CE2+DE2，

DE⊥CE，

DE∩CE＝E，

所以，CE⊥面D1DE，

又D1E面D1EC，

所以，D1E⊥CE；

（2）设平面CD1E的法向量为（x，y，z），

由（1）得（1，1，﹣1），（1，﹣1，0）

x+y﹣1＝0，x﹣y＝0

解得：x＝y，即（，，1）；

又平面CDE的法向量为（0，0，1），

∴cos，span>，

所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值为；

（3）由（1）（2）知（0，1，0），平面CD1E的法向量为（，，1）；

故A点到平面CD1E的距离为d.