已知分别是椭圆
的左,右顶点,点
在椭圆
上,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆
上除长轴端点外的任一点,直线
,
与椭圆的右准线分别交于点
,
.
①在轴上是否存在一个定点
,使得
?若存在,求点
的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求
的取值范围.
(1);(2)①存在点
的坐标为
,②
.
解析试题分析:(1)利用题目条件建立关于a,b,c的方程组,解方程组即可;
(2)①对于存在性问题,可以先假设点存在,然后根据
以及点P在椭圆上直线
,
与椭圆的右准线分别交于点
,
等相关条件建立方程,看看点E的横坐标是不是定值,如果是即为所求,如果不是也就说明了不存在;②利用向量的坐标运算,计算
,
,进而求出
的表达式,在利用函数知识求取值范围.
试题解析:(1)由题意得,,
, ∴
,
由点在椭圆C上,则有:
, 2分
由以上两式可解得.
∴椭圆方程为. 4分
(2)①椭圆右准线的方程为. 5分
假设存在一个定点,使得
.设点
(
).
直线的方程为
,令
,
,∴点
坐标为
.
直线的方程为
,令
,
,
∴点坐标为
. 7分
若,则
,∵
,
,
∴. 9分
∵点在椭圆
上,∴
,∴
,代入上式,得
,
∴,∴点
的坐标为
. 11分
②∵,
,
∴.
∵,
,∴
.
∴ . 13分
设函数,定义域为
,
当时,即
时,
在
上单调递减,
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已知为椭圆
的左右焦点,
是坐标原点,过
作垂直于
轴的直线
交椭圆于
,设
.
(1)证明: 成等比数列;
(2)若的坐标为
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的椭圆中,过的直线
与椭圆
交于
、
两点,若
,求直线
的方程.
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已知双曲线x2-=1.
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点P(2,3),求椭圆方程.
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,直线l为椭圆的右准线,N为l上的一动点,且在x轴上方,直线AN与椭圆交于点M.若AM=MN,求∠AMB的余弦值;
(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点,当线段PQ的中点为(0,9)时,求这个圆的方程.
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如图,点P(0,-1)是椭圆C1:=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
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己知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),点A(2,0)在椭圆C上,过F点的直线
与椭圆C交于不同两点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线斜率为1,求线段
的长;
(3)设线段的垂直平分线交
轴于点P(0,y0),求
的取值范围.
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已知双曲线x2-y2=2若直线n的斜率为2 ,直线n与双曲线相交于A、B两点,线段AB的中点为P,
(1)求点P的坐标(x,y)满足的方程(不要求写出变量的取值范围);
(2)过双曲线的左焦点F1,作倾斜角为的直线m交双曲线于M、N两点,期中
,F2是双曲线的右焦点,求△F2MN的面积S关于倾斜角
的表达式。
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已知椭圆C1:=1,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为(-2,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4,求直线l的方程.
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已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:
=1(a>b>0)的离心率e=
,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两切线的斜率之积为定值.
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已知椭圆的离心率为
,椭圆的的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4,
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A, B两点,若点M(
, 0),求证
为定值.
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